[알고리즘] 최단경로 알고리즘 (다익스트라, 플루이드워셜)

최단 경로 알고리즘

• 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우

다익스트라 최단 경로 알고리즘 O(ElogV), O(V^2)

• 그래프에서 여러개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
• 0 보다 작은 간선이 없을 때 이용된다
• 매 상황마다 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문에 그리디 알고리즘에 속한다.

알고리즘 원리

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

특징

• 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.

1. 매 번 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.
2. 나중에 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네?' 이제 부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야라고 판단하는 것이다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인해 그 노드에 대해서 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
4. 한단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것

구현 코드

우선순위 큐없이 구현 O(V^2)

import sys
input = sys.stdin.readline

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [ [] for i in  range(n + 1) ]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 방문 하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 선택 및 반환
def  get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]: # graph[start] = (b,c) start 노드에서 j[0] 번 노드로 가는 비용이 j[1]
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달 할 수 있는 경우 최단 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

우선순위 큐를 사용하여 구현 O(ElogV)

# 개선된 다익스트라 알고리즘

# 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로 만 우선순위 큐를 추가로 이용
# 즉 get_smaillest_node() 대신 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체 가능하다.
# visited 테이블도 필요가 없다.

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [ [] for i in  range(n + 1) ]

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0,start))
    distance[start] = 0

    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시(방문한 것으로 친다) 거리가 더 낮은 것으로 구분
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달 할 수 있는 경우 최단 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

플로이드 워셜 알고리즘 O(N^3)

• 모든 지점에서 다른 모든 지점가지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우
• 다이나믹 프로그래밍
• 노드의 개수가 N 이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 점화식에 맞게 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다.
• $Dab = min(Dak , Dab + Dkb)$

구현코드

# 플로이드 워셜 알고리즘 소스코드
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [ [INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정 
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n+1):
    for b in range(1, n+1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end=' ')
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()